Réflexions mathématiques adaptées aux TCG – Calcul de l’Expected Value

On entend souvent beaucoup de choses au sujet de la meilleure manière d’optimiser ses dépenses en tant que joueur de TCG. La question principale qui revient est la suivante : vaut-il mieux acheter des Boosters ou bien des cartes à l’unité ?

Depuis longtemps maintenant, les développeurs de TCG ont fait le choix de vendre leurs cartes sous forme de Boosters semi randomisés. Cela présente beaucoup d’avantages pour eux :

• Une stabilité possible sur les prix – le développeur va définir le prix de son booster, et c’est le marché secondaire qui se chargera de définir le prix de chaque carte.
• Une distribution simplifiée – peu de produits différents, simplement des Boosters ou boîtes de boosters.
• Une monétisation de « l’expérience d’ouverture » – les amateurs de pari et de sensations seront ravis de payer plus cher pour la « chance d’avoir une carte rare ».

Cela laisse donc deux choix pour le joueur : acheter les Boosters directement via le réseau de distribution en place (bien souvent les boutiques locales), ou bien acheter les cartes nécessaires pour monter des decks ou des collections sur le marché secondaire.
Il n’y a pas de meilleure solution dans l’absolu, car il est difficile de mettre un montant financier sur cette fameuse « expérience d’ouverture ». Ce qu’on peut faire par contre, grâce à quelques mathématiques basiques, est d’estimer quel rendement on peut obtenir en ouvrant des Boosters, et le comparer à ce qu’on aurait obtenu pour le même montant en achetant directement des cartes à l’unité.

C’est un point central pour les boutiques, qui ont elles même le choix entre vendre directement les produits scellés, ou les ouvrir pour vendre les cartes à l’unité. Le but de cet article est de répondre à cette question en utilisant un exemple concret, qui va nous permettre de développer ces concepts mathématiques, réutilisables pour chaque extension de chaque jeu.

1. Généralités mathématiques du TCG

Pour commencer, il est important de définir un terme fondamental : l’Expected Value (ou EV), ou Espérance mathématique.

En théorie des probabilités, l’espérance mathématique (ou tout simplement espérance, ou premier moment) d’une variable aléatoire réelle est la moyenne des valeurs qu’elle prend, pondérée par la loi de probabilité de la variable aléatoire.

Utilisation du concept pour les TCG

Ce concept peut-être utilisé pour créer un modèle qui nous donnera une idée mathématique de la valeur théorique de chaque booster. L’idée est simple : simuler l’ouverture d’un très grand nombre de boosters, afin de définir « en moyenne » la valeur de ceux ci.
On pourrait simplement procéder comme ca. Créer un simulateur d’ouverture, simuler des milliers d’itérations, noter les résultats, et faire une moyenne. Plutôt fastidieux.

Pour commencer, il est important de définir la structure d’un booster. Pour tous les TCG, un booster est divisé en plusieurs slots, qui ont chacun un pool de cartes spécifiques qui peuvent apparaître.
Prenons l’exemple de Riftbound : Origins, puisque c’est ce jeu que nous allons utiliser pour l’exemple. NOTE IMPORTANTE : certaines informations ne sont pas publiques et officielles, et sont simplement tirées des diverses expériences d’ouverture. Il faudra donc les prendre avec des pincettes.

2. Exemple de Riftbound – League of Legends TCG

Semi randomisation des Boosters : le concept de Slot

Un booster Riftbound : Origins contient 14 cartes, distribuées comme suit :

NOTE : dans cet exemple, nous allons ignorer les erreurs de répartitions présentes dans le premier print de l’extension Origins (« Faulty Packs »)

• 7 cartes communes
• 3 cartes peu communes
• 2 cartes rares (ou mieux)
• 1 carte Foil
• 1 rune / token
• (1 carte d’information)

Source : site officiel Riftbound

Maintenant, regardons les cartes présentes pour chaque rareté dans l’extension Origins

• 89 cartes communes
• 84 cartes peu communes
• 84 cartes rares
• 42 cartes épiques
• 54 cartes « Showcase » (24 champions alternatifs, 12 légendes Overnumber « ON », 12 légendes Overnumber Signed « ONS », 6 runes alternatives)

Source : site officiel Riftbound, Card Gallery

Il est important de noter qu’il existe (pour Riftbound comme pour la plupart des TCG) des systèmes en place pour éviter les doublons, et ce à 3 niveau : au niveau d’un Booster, au niveau d’une Boite de Boosters (24 boosters), et enfin au niveau d’une Case (6 boites de Boosters). Pour simplifier les calculs, partons du principe qu’il nous sera impossible d’obtenir une deuxième copie d’une carte que l’on a déjà eue tant que l’on n’a pas ouvert toutes les cartes au moins une fois. Considérons ici que nous avons une répartition parfaite, comme si nous avions obtenus des centaines de cases sorties de l’usine à la file.

On peut donc déjà dire ceci : dans un Booster, on a 7/89 chance (7,87%) d’obtenir une commune spécifique, 3/84 (3,57%) pour une peu commune. Il faut donc ouvrir 12,71 boosters pour avoir une copie de chaque commune, et 28 boosters pour obtenir une copie de chaque peu commune. Dans le cas ou les boosters ne proviennent pas de la même Case, on perd la « duplicate protection », et ce chiffre sera probablement augmenté.

Ca, c’était la partie facile, et disons le, peu impactante sur l’EV du booster, car les communes et peu communes ont rarement beaucoup de valeur sur le marché secondaire.
Penchons nous donc sur un des slots les plus intéressants : 2 cartes rares ou mieux.
Ici, on peut avoir :

• Une des 84 carte rare
• Une des 42 cartes épique
• Une des 48 cartes « Showcase » (et non pas 54, car les 6 runes alternatives ne peuvent pas être dans ce slot mais uniquement dans le slot de rune)

Les deux slots étant similaires, il suffit d’en calculer un seul. Ici, ce qui va être important, c’est de savoir les ratios d’apparitions des cartes meilleures que les rares.

Regardons cette image qui explique ceci en détail.

Bien que cette image contienne des inexactitudes, les informations dont on a besoin sont bien présentes, à savoir 6 épiques par boite de 24 booster, soit 1 pour 4 boosters (25% des boosters).
Pour les alternatives, on a 2 alternatives par boite (HORS RUNE), réparties ainsi :

• Un champion alternatif : 1 pour 12 boosters, soit 8,33% des boosters
• Une légende Overnumber : 1 pour 72 boosters, soit 1,38% des boosters
• Une légende Overnumber signée : 1 pour 720 boosters, soit 0,138% des boosters

Il est important de noter que lorsqu’une rareté supérieure à Rare apparait, elle remplace la rare présente dans le booster. Si on raisonne sur une boite de 24 boosters, on aura donc au total :

• 168 cartes communes (environ 2 de chaque)
• 72 cartes peu communes (soit 85,71% des 84 peu communes disponibles)
• 40 rares (soit 47,61% des rares disponibles)
• 6 épiques (soit 14,28% des épiques disponibles)
• 2 alternatives

Note : si on a une épique ou une alt, on a une rare de moins. Il faut donc compter 40 rares et non 48, soit 1.67 rares par booster.

Note bis : l’épique peut apparaitre dans le slot Foil, et on peut donc avoir 2 rares + une épique. Sans infos supplémentaires sur les ratios du slot Foil, on va ignorer cette possibilité, qui n’impactera que peu les calculs au final.

Et l’argent dans tout ça ?

Bon, maintenant qu’on à une idée (plutôt) précise des répartitions, on va pouvoir y ajouter les prix afin d’obtenir la fameuse Expected Value.
En fonction de votre objectif, on peut choisir plusieurs sources pour trouver les prix. De mon côté, j’utilise TCG Power Tools, connecté à mon compte Cardmarket. Ce logiciel me permet de définir des algorithmes de prix en fonction de plusieurs paramètres. Ici, j’utilise (en fonction de mes besoins) l’un des 3 algorithmes suivants :

• Pricing des cartes en fonction de la valeur « Trend » de Cardmarket (« Trend« ) : pratique, mais parfois éloigné de la réalité, car le paramètre « Trend » n’est qu’une moyenne de tous les listings (et non des cartes vendues) à l’instant T sur Cardmarket.
• Comparatif à la concurrence (« EV« ) : je price la carte de manière à ce qu’elle soit 1 centime moins chère que le premier listing sur Cardmarket. C’est le plus réaliste, car c’est celui qui donnera le prix « plancher » auquel je sais que la carte se vendra. Réaliste, mais limité, car parfois faussé par des listings de vendeurs hors Union Européenne, de comptes vendeurs particuliers avec très peu de ventes…
• Mon pricing que j’utilise pour vendre mes cartes (« Carfurle« ) : une moyenne, basée sur mon expérience majoritairement. Il est souvent compris entre le prix « Trend » et le prix « EV ». En tant que vendeur pro, avec pas mal de ventes, et toutes les cartes en stock, je peux généralement me permettre de vendre un peu plus cher que les premiers prix (plus de confiance des acheteurs, plus de cartes au même vendeur pour limiter les frais de port…)

Personnellement, je préfère souvent utiliser l’algorithme de pricing « EV » pour les calculs d’Expected Value, car il me donne une idée neutre, plutôt pessimiste. Une fois l’algorithme choisi, je vais pouvoir pricer l’intégralité des cartes, et ainsi sortir un prix moyen par rareté. Prenons l’exemple pour les communes :

• Prix total des communes (02/01/2026, pricing « EV ») : 1,78€
• Nombre total de communes : 89
• Valeur moyenne d’une commune : 1,78/89 = 0.02€
• 7 communes par booster : 7*0.02 = 0.14€

En moyenne, dans un booster, il y a donc en théorie pour 14 centimes de communes. Pas terrible.

Pareil pour les peu communes :

• Prix total des peu communes (02/01/2026, pricing « EV ») : 6.58€
• Nombre total de peu communes : 84
• Valeur moyenne d’une peu commune : 6.58/84 =0.08€
• 3 peu communes par booster = 0.24€

En moyenne, dans un booster, il y a donc en théorie pour 24 centimes de peu communes. Pas beaucoup mieux.

Maintenant, si on est réaliste, il n’y a que quelques communes et quelques peu communes que l’on pourra réellement vendre. C’est pour cela que lorsqu’on calcule l’EV d’un booster, il est plutôt cohérent d’ignorer complètement ces valeurs, et de considérer qu’elles sont simplement de 0.

Passons maintenant aux rares :

• Prix total des rares (02/01/2026, pricing « EV ») : 88.84€
• Nombre total de rares : 84
• Valeur moyenne d’une rare : 88.84/84 = 1.057€
• 1,66 rares par booster = 1.76€

En moyenne, dans un booster, il y a donc en théorie pour 1.76€ de rares. Ici, la notion de moyenne est intéressante, car la variance est assez élevée. L’écart entre une Wraith of Echoes à 0.02€ et un Thousand-Tailed Watcher à 25€ est immense. Ca fait donc que, sur un booster, on peut avoir un total de quelques dizaines de centimes, comme un total de près de 2000 euros… On ne va pas rentrer dans les calculs de variance et d’écart type pour cette fois, mais c’est cela qui explique que ces calculs ne sont valables que pour un très grand nombre de booster, afin de lisser cette variance.

Allez, on continue pour les épiques :

• Prix total des épiques (02/01/2026, pricing « EV ») : 582.94€ (rien que ça)
• Nombre total d’épiques : 42
• Valeur moyenne d’une épique : 582.94/42 = 13.88€
• 0.25 épique par booster = 3.47€

Ensuite, les champions alternatifs :

• Prix total des champions alt (02/01/2026, pricing « EV ») : 268.1€
• Nombre total de champions alt : 24
• Valeur moyenne d’un champion alt : 268.1/24 = 11.17€
• 0.083 champion alt par booster (en réalité un peu moins, car ca sera une légende ON ou ONS une fois de temps en temps, mais négligeable) =0,97€

Faisons une pause ici, et un petit récap :

Rareté	Prix moyen des cartes de la rareté	EV du slot
Communes	1.78€	négligeable
Peu communes	6.58€	négligeable
Rares	88.84€	1.76€
Epiques	582.94€	3.47€
Champions alt	268.1€	0,97€
TOTAL	948,24€	6.20€

C’est intéressant de s’arrêter un peu ici, car c’est ce chiffre qui sera le plus réaliste dans le cas ou on ouvre un petit échantillon (par exemple une boite de boosters). Les alternatives plus rares, à savoir les ON et ONS, n’apparaissent que respectivement une fois toutes les 3 boites et une fois toutes les 30 boites. Ainsi, sur une boite, on a 33% de chance d’obtenir une overnumber (et 3,3% de chance pour une ONS). J’estime qu’il n’est pas pertinent de la compter dans le cas ou on ne prévoit pas d’ouvrir au moins 3 boites de boosters (et 30 pour une ONS) pour cette raison. Certes, on pourrait ajouter 33% de l’EV du slot Overnumber pour être mathématiquement juste, mais dans les faits, ca sera « tout ou rien » (soit on a une ON, soit on en a pas). Je préfère donc ne pas la compter.

Passons au calcul de l’EV des ON :

• Prix total des ON (02/01/2026, pricing « EV ») : 860.63€
• Nombre total des ON : 12
• Valeur moyenne d’une ON : 71.72€
• 1/72 ON par booster = 0.99€

Et pour finir, l’EV des ONS :

• Prix total des ONS (02/01/2026, pricing « EV ») : 8081.43€
• Nombre total des ONS : 12
• Valeur moyenne d’une ONS : 673.45€
• 1/720 ONS par booster = 0.94€

Complétons le tableau :

Rareté	Prix moyen des cartes de la rareté	EV du slot
Communes	1.78€	négligeable
Peu communes	6.58€	négligeable
Rares	88.84€	1.76€
Epiques	582.94€	3.47€
Champions alt	268.1€	0,97€
Légendes ON	860.63€	0.99€
Légendes ONS	8081.43€	0.94€
TOTAL	9890,3€	8.13€

La, on est pas très loin d’avoir notre résultat final. On va rajouter la rune alternative, qui remplace la rune dans 1 booster sur 24 :

• Prix total des runes alt (02/01/2026, pricing « EV ») : 66.66€
• Nombre de runes alt : 6
• Prix moyen : 11.11€
• 1/24 runes par booster : 0.46€

Maintenant, le slot foil. Ici, on a un problème, car voici la seule information officielle disponible : « There will also be a dedicated Foil slot in every booster pack – most of the time this will be a foil common or uncommon, but this slot can also upgrade to Rare or Epic, allowing for some very exciting pulls! » (source : site officiel Riftbound)

On sait donc que cette carte peut-être une commune, une peu commune, une rare ou une épique, avec aucune information disponible (à ma connaissance) sur la répartition. Pas possible d’aller plus loin dans le calcul. Ceci dit, on peut imaginer que c’est probablement en grande majorité des communes et peu communes, que l’on peut donc négliger également. Pour pouvoir calculer précisément l’EV de ce slot, nous aurions besoin de connaitre précisément la répartition et taux d’apparition des cartes sur la print sheet pour Origins, mais c’est un sujet pour un autre article.

Voila donc notre tableau final :

Rareté	Prix moyen des cartes de la rareté	EV du slot
Communes	1.78€	négligeable
Peu communes	6.58€	négligeable
Rares	88.84€	1.76€
Epiques	582.94€	3.47€
Champions alt	268.1€	0,97€
Légendes ON	860.63€	0.99€
Légendes ONS	8081.43€	0.94€
Rune alternative	66.66€	0.46€
Foil	0	???
TOTAL	9890,3€	8,59€

Voila donc le résultat final de nos calculs : 8,59€ par booster, soit 206,2€ par boite de booster. Sans surprise, on retombe à pas grand chose près sur le prix d’une boite de booster Origins aujourd’hui, et ca s’explique assez facilement :

• Si le résultat était largement supérieur au prix moyen d’une boite : on aurait ce qu’on appelle une EV inversée, c’est à dire que le fait d’ouvrir la boite pour vendre les cartes est mathématiquement gagnant (j’insiste sur le mathématiquement car on ne prend pas en compte ici énormément de facteurs différents). Dans ce cas, la nouvelle se propage assez rapidement (ou pas?), les boites s’ouvrent de partout, faisant baisser les prix des cartes individuelles, se rapprochant lentement de l’EV.
• Si le résultat était largement inférieur au prix moyen d’une boite : c’est ce qu’on retrouve beaucoup sur des boites scellées d’extensions plus anciennes sur d’autres TCG (Pokémon et Magic par exemple). Cela s’explique lorsque l’objet scellé en lui même est un objet de collection, qui a donc plus de valeur que son contenu. Pour l’exemple, amusez vous (oui, j’ai ma propre notion du fun) a calculer l’EV d’une boite Pokémon set de base, ou une boite Revised pour Magic, vous allez voir qu’on est bien bien loin du prix de la boite scellée.

Ainsi, dans le cas d’un jeu ou d’une extension populaire et demandée, le volume d’offre et de demande permettra de maintenir le prix d’une boite scellé très proche de son EV. Tant que l’objet scellé en lui même n’est pas plus demandé que les cartes qu’il contient, ce modèle est applicable. En rajoutant des boites Origins sur le marché (par le biais de reprints), la majorité de ces boites vont être ouvertes (vu que l’EV est bonne), rajoutant ainsi des cartes sur le marché. Si on en ajoute suffisamment, l’offre va finir par matcher, puis dépasser la demande en cartes à l’unité, et les prix de ces cartes à l’unité va baisser. Une fois que les prix ont suffisamment baissé, l’EV de la boite sera nettement inférieure au prix de la boite scellée, donc les possesseurs de ces boites seront beaucoup moins incités à les ouvrir, mais plutôt à les vendre scellées. Ce qui amène plus de boites scellées sur le marché. Ce qui fait baisser son prix jusqu’à matcher l’EV, donnant envie aux gens d’ouvrir des boites…. Bref, vous avez compris le système.

3. Conclusion

Bon, et alors ?

Si, en tant que boutique, on se posait la question d’ouvrir les boites ou de les vendre scellées, les maths ne nous ont pas beaucoup aidé. Quoique… Dans ce cas, l’EV est quand même relativement proche (voir légèrement supérieure) au prix d’une boite sur le marché secondaire, ce qui n’est pas forcément toujours le cas.

Pour décider quoi faire, il va falloir prendre en compte plus de facteurs : le temps passé à ouvrir les boites et lister les cartes, le temps passé mettre en vente les cartes, préparer les envois, les frais de marketplace, les envois perdus par la Poste… Pour moi, cela dépend surtout de la quantité de boites disponibles. Le minimum pour se poser la question (à mon avis) serait d’avoir une Case, car on est garantis d’avoir au moins 2 ON, on est garantis d’avoir toutes les rares, certaines en plusieurs exemplaires, presque toutes les épiques, largement toutes les communes et peu communes. Tout cela veut dire plus d’inventaire disponible, donc plus de commandes groupées de la part des acheteurs, donc plus de profit.

On peut aussi voir l’avantage comme ceci : si on vend une case, on a un seul client. Si on vend 6 boites, on a (potentiellement) 6 clients. Si on vend les cartes, on a des centaines de clients, donc des opportunités de fidélisation / business.

Pour vous, les joueurs, je pense qu’il n’y a pas photo : il vaut largement (sur le plan financier) mieux acheter les cartes nécessaires pour votre deck plutôt que d’acheter des boosters. Si on prend l’exemple des communes, il faut ouvrir en moyenne 38 boosters, soit environ 380 euros, pour être garanti d’avoir le playset de la commune que vous cherchez, que vous pourriez avoir pour 15 centimes.

Pour donner un exemple concret, un deck Kai’Sa complet et compétitif coute aux alentours de 400 euros aujourd’hui, soit l’équivalent de 40 boosters. En ouvrant 40 boosters, vous aurez :

• Toutes les communes en x3
• Toutes les uncos en x1, la moitié des uncos en x2
• Un peu moins d’une rare de chaque (environ 3/4 des rares)
• 10 épiques sur les 42 dispo
• 3 champions alt (environ 55% de chance d’avoir une ON et 5.5% d’avoir une ONS)

Donc dans le meilleur des cas, il vous faudra acheter les 2 Watchers, 2 Darius, 2 Falling Star, 1 Retreat, 1 Kai’Sa, 1 Icathian Rain, et je ne compte que les cartes les plus chères. Dans le pire des cas, vous pourriez vous retrouvez à devoir acheter l’intégralité des rares et épiques du deck, malgré l’ouverture de ces 40 boosters. Comme on dit : un tiens vaut mieux que deux tu l’auras !

Je vais m’arrêter la pour la démonstration. De mon côté, le choix est fait : je préfère ouvrir. Pourquoi ? Déjà parce que c’est quand même sacrément fun d’ouvrir un booster. Ensuite, j’ai besoin d’avoir des cartes pour monter nos decks. Enfin, mes process d’ouverture et de listing sont bien rodés : c’est pas 150 boosters qui vont me faire peur…

C’est tout pour aujourd’hui ! Pour appliquer tout ce qu’on a pu voir aujourd’hui, le prochain article portera sur le breakdown d’une case d’Origins : process, calculs précis de profit attendu, pricings… Ca sera l’occasion de parler de pas mal de sujets concernant la rentabilité, les marges et profits pour les boutiques, en prenant le point de vue d’un vendeur.